2023 IUPC (인하대학교 프로그래밍 대회) 출제 후기, 해설

작년에 왔던 화석 (진짜 화석임)이 죽지도 않고 또 와서 문제를 출제하고 있다.

이번에도 오프라인으로 개최했는데, 예산 지원을 많이 받아 풍선을 모두에게 나눠 줄 수 있었다.

대회 진행중 나는 시험장 바깥에서 모두에게 나눠줄 헬륨 풍선을 제작하는 막노동을 담당(?)했는데, 처음에 A번 문제 솔브가 너무 많아서 바빴던것 빼고는 재미있게 시험장의 열기를 느낄 수 있었던 것 같다.

주 8일 휴가가 아니라 주 8일 노동을 하고 있다. 다음에는 진짜로 몸으로 하는건 후배들 시킬것이다.

다음은 각 문제들의 출제 의도와 해설에 대해 간략하게 설명한다.

A. 모비스

https://www.acmicpc.net/problem/28074

28074번: 모비스

주어진 문자열에 포함된 알파벳 대문자들을 이용해 MOBIS를 만들 수 있으면 "YES", 그렇지 않으면 "NO"를 출력한다.

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적어도 1솔씩 하라고 준 문제이다.

모비스에서 우리의 풍선을 사줬다. 고마워요!

B. 스파이

https://www.acmicpc.net/problem/28075

28075번: 스파이

첫째 줄에는 민겸이가 임무를 수행하는 총 일수 $N$과 민겸이가 얻고 싶은 최소 기여도 $M$이 공백으로 구분되어 주어진다. 둘째 줄에 민겸이가 정보 수집 임무를 수족관, 시청, 학교에서 수행했

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완탐 문제를 하나 넣기 위해 제작한 문제이다.

황혼..이 아니라 민겸이가 할 수 있는 일이 6가지이고, 최대 8일간 일을 하니 $6^8$ 완전탐색을 돌리면 된다.

B2. 스파이 (Hard)

https://www.acmicpc.net/problem/28084

28084번: 스파이 (Hard)

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오픈 컨테스트를 위한 Hard 문제 제작에 이 문제가 선정되었다.

우선 이 문제는 이쁜 $O(NM)$ DP 풀이가 있었는데, 그걸 위해 일부러 Hard로 만들기에는 너무 난이도가 낮은것 같아 $N$을 더 키우기로 했다.

그러면 $K$일째의 DP테이블 과 $(K+1)$일째의 DP테이블 사이의 관계를 선형결합으로 나타낼 수 있기 때문에 행렬의 곱셈으로 나타낼 수 있고, 거듭제곱을 $\log N$에 해서 빠르게 답을 계산해 낼 수 있다.

이 때 행렬의 크기를 가장 크게 구현하면 $6M \times 6M$이고, 행렬 곱셈으로 인한 $(6M)^3$이 충분히 돌아가도록 $M$의 범위를 조절했다.

C. 멀티탭 충분하다

https://www.acmicpc.net/problem/28076

28076번: 멀티탭 충분하다

역사와 전통의 인하대학교 PS소모임 CTP는 스터디를 위해 멀티탭 세팅을 수없이 하여, 이제 멀티탭을 가지고 놀 정도의 수준이 되었다. 말 그대로 가지고 놀고 있는데, 2구부터 108구까지 다양한

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예전에는 멀티탭이 부족했었는데 이번에는 멀티탭이 정말 충분하다.

저 각도가 30도가 아니라 90도라고 생각해보자. 그러면 멀티탭이 가로와 세로로 번갈아서 꽂힐 것이고, 최대 2개의 멀티탭만이 눈에 보이도록 멀티탭을 적절하게 꽂을 수 있음을 쉽게 생각할 수 있다.

그러면 멀티탭을 정렬해서 가로로 가장 긴것 하나와 새로로 대충 $\frac N2$번째 정도에 있는 멀티탭 하나만 보이게 하고, 구멍 1개가 겹치니까 1을 빼면 될 것이다.

각도가 30도로 바뀌면 눈에 보이는 멀티탭의 수가 2개가 아니라 3개로 바뀔 뿐 풀이가 똑같다. 대신 예제 1에서 친절하게 보여줬듯이 이번에는 최대 구멍 3개가 겹치게 된다.

좋은 애드혹 문제였다고 생각한다.

D. 사탕 팔찌

https://www.acmicpc.net/problem/28077

28077번: 사탕 팔찌

사탕 팔찌를 완성할 수 있다면, 첫째 줄에 "YES"를 출력하고, 둘째 줄에 사탕 팔찌를 구성하는 사탕 묶음을 차례대로 공백으로 구분하여 출력한다. 가능한 답이 여러 개라면, 그 중 아무거나 하나

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출제 의도는 올솔브 방지이다.

각 사탕 묶음을 하나의 정점으로 생각하고, 이을 수 있는 두 사탕 묶음 사이를 간선으로 하는 그래프를 생각해 보자.

그러면 이 그래프에서 적절한 해밀턴 회로를 하나 구하는 문제로 바뀐다.

하지만 해밀턴 회로는 NP-Hard이다. 어떻게 하지?

비슷한 문제인 오일러 회로는 DFS와 링크드 리스트로 푸는 웰노운 풀이가 있으니 이걸 이용해 보자.

오일러 회로는 모든 간선을 한번씩 방문하는 회로를 구하는 문제이니, 원래의 정점을 간선으로 바꿀 수 있는지 생각해 본다.

ABCD - BCDE - CDEF 와 같은 그래프가 있었다고 가정하자.

ABCD와 BCDE의 공통 부분 사탕 묶음은 BCD이고, BCDE와 CDEF의 공통 모시깽이는 CDE이다.

간선 BCD와 CDE를 동시에 가지는 정점은? BCDE가 유일하다는 사실을 알 수 있다.

그러면, 사탕 $K-1$개 만을 이용하는 모든 부분 사탕 묶음을 새로운 정점으로 해서 다시 그래프를 만들어보자. 이번에는 간선이 각각의 사탕 묶음을 나타내도록 그래프를 만들 수 있다.

이제 웰-노운인 오일러 회로 문제가 되었으니 풀면 된다. 방향 있는 오일러 회로 문제도 방향 없는 오일러 회로와 같은 방식으로 풀린다.

E. 중력 큐

https://www.acmicpc.net/problem/28078

28078번: 중력 큐

처음에 왼쪽이 큐의 뒤, 오른쪽이 큐의 앞인 가로 방향의 빈 큐가 존재한다. 이 큐에서 공이나 가림막을 하나씩 큐의 뒤에 삽입하거나, 큐의 가장 앞에 있는 공이나 가림막을 꺼낼 수 있으며, 큐

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기본적인 자료구조를 잘 알고 있는지 확인하는 문제이다.

큐가 돌아가면서 큐의 앞과 뒤에서 push와 pop이 이루어진다. 그러면 deque으로 풀린다는 사실을 알면 된다.

공과 가림막이 들어온만큼만 빠져나가기 때문에 중력으로 인해 떨어질 때 하나하나 시뮬레이션 해도 된다.

공과 가림막이 push와 pop 될 때 남아있는 개수만 실시간으로 갱신해 주면 된다.

본 대회에서는 다 풀어놓고 빠른 입출력을 안써서 시간초과가 난 사람들이 꽤 있어서 안타까웠다.

F. 배 옮기기

https://www.acmicpc.net/problem/28079

28079번: 배 옮기기

치훈이는 배 $N$척을 강 건너편으로 옮기려고 한다. 강을 건너가거나 건너오기 위해서는 치훈이가 가지고 있는 배를 운전하여 건너야 한다. 배의 크기가 $X$라고 할 때, 치훈이가 그 배를 운전

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매우 웰노운인 문제이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bridge_and_torch_problem

Bridge and torch problem - Wikipedia

From Wikipedia, the free encyclopedia Logic puzzle The two solutions with the vertical axis denoting time, s the start, f the finish and T the torch The bridge and torch problem (also known as The Midnight Train[1] and Dangerous crossing[2]) is a logic puz

en.wikipedia.org

아무튼 이 문제는 $N$범위가 15밖에 안되기 때문에, 배가 위치하는 모든 $O(2^N)$개의 상황을 비트마스킹 등으로 나타낼 수 있다.

이를 정점으로 하고, 배를 한 번 이동시켰을 때 이동 가능한 두 정점 사이를 가중치 있는 간선으로 이어주자.

그러면 일반적인 가중치 그래프에서 출발점과 도착점이 존재하고, 이 사이의 최단거리를 구하는 간단한(?) 문제로 바뀌게 된다.

무조건 배 두 척이 강의 건너편으로 간 다음 한 척이 돌아와야 된다는 관찰을 해낼 수 있었다면, 그래프가 DAG가 되기 때문에 DP로도 풀리게 된다. 이게 훨씬 더 어려운 접근인것 같은데 사람들은 다 이렇게 풀었다. 왤까?

F2. 배 옮기기 (Hard)

https://www.acmicpc.net/problem/28085

28085번: 배 옮기기 (Hard)

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우선 이 논문을 정독한다.

http://page.mi.fu-berlin.de/~rote/Papers/pdf/Crossing+the+bridge+at+night.pdf

그러면 같은 크기의 배도 싣고 갈 수 있는 일반적인 경우에 대한 답을 알 수 있다. 무려 입력을 제외하고 $O(1)$ 해답이 논문에 나와있다.

https://www.acmicpc.net/problem/4381

4381번: Bridge

The first line of output must contain the total number of seconds required for all n people to cross the bridge. The following lines give a strategy for achieving this time. Each line contains either one or two integers, indicating which person or people

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아무튼 저기에서 얻을 수 있는 Insight는 다음과 같다. 정점 번호가 배의 무게이며, 정렬되어 있다고 생각하자.

문제를 $N$개의 정점을 가진 그래프에서 $N-1$개의 간선을 적절히 추가하는 문제로 바꿀 수 있다.
정점 $A$와 정점 $B$를 이은 간선의 가중치는 $\max(A, B)$이고, 우리는 이 가중치의 합을 최소화 해야 한다.
multiple edge가 존재할 수 있지만, 모든 정점은 최소 1의 degree를 가져야 한다.
위를 모두 고려하여 일반적인 문제를 풀 때, 모든 간선은 다음 3가지 중 1가지를 만족한다.
- $i$번 정점과 $i+1$번 정점을 잇는다.
- 1번 정점과 $i$번 정점을 잇는다.
- 1번 정점과 2번 정점을 잇는다.

하지만 우리의 배 옮기기 (Hard)는 같은 크기의 두 배가 한꺼번에 이동할 수 없기 때문에, 여기에서 조금 더 생각을 해 봐야 한다.

간선이 꼭 $N-1$개가 아니어도 된다고 생각해 보자.

그러면 일반적인 그래프에서 Weighted Edge Cover을 구하는 문제로 생각할 수 있다.

그리고 이 문제는..

https://koosaga.com/258

일반 매칭과 응용

유량(flow) 관련 알고리즘을 공부했다면 이분 그래프의 최대 매칭에 대해서는 익숙할 것이다. 이분 그래프에서 최대 매칭을 구하는 것은 크게 두 가지 의미에서 중요하다. 첫 번째는 문제 그 자체

koosaga.com

koosaga님의 블로그 글을 열심히 읽어서 이해하면 Maximum Weighted Matching 문제로 변환할 수 있음을 알 수 있다.

그리고 이와 관련된 기본(?)문제를 아래에서 풀어볼 수 있다.

https://www.acmicpc.net/problem/15741

15741번: 일반 그래프 최대 가중치 매칭

N개의 정점과 M개의 무방향 간선으로 이루어진 가중치 그래프가 입력으로 주어질 때에, 해당 그래프에서 최대 가중치 매칭의 가중치 합을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 그래프 G = (V, E)(|V|=N,

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이건 내가 푼 첫 루비 문제였는데, 혹시 문제 스포일러가 될까 조금 걱정했지만 난이도가 난이도인지라 다행히 아무도 신경쓰지 않은것 같았다.

이쯤해서 이 문제를 진짜로 내도 되는지에 대해 깊이 고민해 보았는데, 어짜피 Open Contest니까 상관없을거라는 팀원들의 응원을 받아 그대로 출제하게 되었다.

난이도에 화가 나신 분들께는 심심한 사과의 말씀을 드립니다.

하지만 이게 또 끝이 아니다. 이대로라면 간선을 $N-1$개보다 작을 수 있기 때문에, 간선을 $N-1$개가 되도록 잘 조정해주는 작업이 필요하다.

단순하게 생각하면 간선 (1, 2)를 부족한만큼 채운 것이 답이라고 생각할 수도 있지만, 쉽게 반례가 나오게 된다. 1번 정점과 다른 정점을 이음으로써 더 좋은 해를 만들 수도 있기 때문이다.

따라서 애초에 Edge Cover를 구할 때 1번 정점을 여러번 사용할 수 있도록 해주는 작업이 필요한데, 이는 1번 정점을 중복해서 여러개 만들어 두는 방법으로 해결할 수 있다.

예를 들어, 1번 정점을 3번 중복해서 간선도 똑같이 이어준 다음 Edge Cover을 구하면, 자동으로 1번 정점이 3번 사용된 최적해를 구하게 된다.

그러면 1번 정점을 중복하여 최대 $N$번까지 추가해서 각각 Edge Cover를 전부 구해준다음, 그 중 최소값을 구하면 된다는 사실을 알 수 있다.

여기에서 끝일 줄 알았는데, 한 가지 예외 사항이 더 있다.

1번 정점과 같은 무게인 배가 이미 많은 경우에는, 이 1번 정점들(?)을 그 다음 무게의 배와 무조건 이어줘야 한다 (이를 2번 정점이라고 하자). 하지만 2번 정점이 적다면 이를 해결해 줄 수 없다. 그렇다면 2번 정점에도 위와 같은 프로세스를 한번 더 돌려주면 된다.

아무튼 종합해보자면, Maximum Weighted Matching이 $O(N^3)$, 그리고 이를 총 $O(N)$번 반복하니 총 $O(N^4)$에 문제를 해결할 수 있다.

그리고 기본 Maximum Weighted Matching의 난이도가 R3이니, 거기에서 1단계 올려서 R2로 난이도를 책정했다.

고수분들의 더 좋은 풀이가 있다면 꼭 알려주세요. 감사합니다.

G. 인경호의 나무

https://www.acmicpc.net/problem/28080

28080번: 인경호의 나무

다음은 인하대학교의 나무 소모임 Cool Tree People (CTP) 회원들 사이에 구전으로 내려오는 전설 "인경호의 나무"에 대한 이야기이다. 인경호의 깊은 바닥에는 노드 $N$개로 이루어진 이진 트리가 있

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문제에서 Binary Search Tree를 설명하고 있다. 자료구조 시간에 수업을 잘 들었다면 BST를 중위 순회한 결과가 오름차순으로 나타내어진다는 사실을 알 수 있다. 그러면 지워진 수들로 인해 이 오름차순의 배열 사이사이에 구멍이 뚫려있을텐데, 구멍의 크기가 $X$이고, 이 사이에 $Y$개의 수가 들어갈 수 있다면 $_YC_X$를 구해서 전부 곱해주면 된다.

H. 직사각형 피자

https://www.acmicpc.net/problem/28081

28081번: 직사각형 피자

첫 번째 줄에 피자의 가로 길이 $W$와 세로 길이 $H$, 부원들이 먹을 수 있는 피자 조각의 최대 크기 $K$가 공백으로 구분되어 주어진다. 두 번째 줄에 가로 방향 커팅의 개수 $N$이 주어진다. 세 번

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피자가 무려 $10^{10}$조각 날 수 있으니 완전 탐색은 불가능하다.

가로 방향이나 세로 방향의 조각 크기를 정렬해 놓고, 이분탐색이나 투 포인터를 이용해 시간복잡도를 줄일 수 있다.

I. 기계오리 연구

https://www.acmicpc.net/problem/28082

28082번: 기계오리 연구

인하대학교 기계공학과의 기계오리 연구실에서는 2023년 버전 기계오리를 완성하기 위해 실험을 진행하고 있다. 실험 도중, 기계오리에 1개 이상 $K$개 이하의 배터리를 삽입하면 기계오리가 언

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Knapsack DP의 응용 문제이다.

$DP_i$를 $i$의 전력량을 만들기 위해 필요한 최소 배터리 개수로 정의하면, $O(NKI)$에 DP테이블을 채울 수 있다.

이 문제는 정해보다 bitset DP로 많이 풀렸는데, DP식을 적당히 짜도 /64 상수 최적화가 가능하기 때문이다.

이를 조금 더 응용해서 bitset으로는 어림도 없고 FFT를 $\log N$번 돌려야 하는 문제를 Hard로 할지 고민했었는데, FFT가 너무 무거워서 여러 번 돌리는 순간 실행시간이 산으로가서 결국 아쉽게 무산되었다.

J. 마왕의 성

https://www.acmicpc.net/problem/28083

28083번: 마왕의 성

세계 정복의 야망을 품은 마왕은 자신의 국가를 만들기로 했다! 하지만 국가를 만들기 전, 영토를 정하거나 성을 세우는 등 해야 할 일이 많다. 영토가 될 수 있는 부지는 $N \times M$크기의 직사

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코드포스 등에서 비슷한 유형의 문제를 접해봤다면 Disjoint Set (Union Find)로 풀리는 매우 전형적인 문제라는 사실을 알 수 있다.

땅을 높이 순으로 정렬해서 낮은 땅부터 미리 계산해 놓으면 더 높은 땅은 낮은 땅에서 계산한 값을 단순히 merge 함으로써 구할 수 있다.

결과

교내대회는 올솔브 방지 1문제를 제외한 9문제가 각각 다른 사람들에 의해 꽤 빨리 풀렸고, 아주 치열한 상위권 싸움을 구경할 수 있었다.

다만 중~하위권의 입장에서는 조금 아쉬운 대회였는데, ABEH(C)를 제외하면 일반적인 학생들은 비빌만한 문제가 부족했기 때문에 평균 솔브 수는 작년보다 적게 나왔다.

다음에 혹시 또 출제하게 된다면 실버~골드 하위 문제들을 더 탄탄하게 만들어 봐야겠다.

오픈컨은 양심 없는 1문제의 존재로 인해 이번에도 올솔브가 나오지 않았다.

올해도 인하대학교 출제진의 승리이다(?)

2023년 5월 22일 현재 solved.ac기준 난이도는 다음과 같다.

마지막으로

재미가 있었다!

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